Primzahlen Grundlagen

In diesem Beitrag werden die Grundlagen der Primzahlen behandelt. Primzahlen sind alle ganze Zahlen bis auf die 1, die nur durch sich selbst und 1 ohne Rest teilbar sind. Aber warum sind Primzahlen so interessant und wozu braucht man sie?

Überblick: Primzahlen
  • Primzahlen haben nur 2 Teiler: Sich selbst und die 1
  • Alle Zahlen sind durch Multiplikation von Primzahlen zusammengesetzt und können in ihre Primfaktoren eindeutig zerlegt werden
  • Es ist nicht immer einfach herauszufinden, ob eine Zahl eine Primzahl ist oder nicht
  • Um zu prüfen, ob eine Zahl eine Primzahl ist, braucht man nur zu testen, ob alle Zahlen, die kleiner als die Wurzel der Zahl sind, durch die Zahl teilbar sind
  • Findet man alle Teiler kleiner als die Wurzel, hat man automatisch auch alle Teiler größer als die Wurzel gefunden

Was sind Primzahlen?

Jede Zahl besitzt mindestens 2 Teiler, nämlich sich selbst und 1. Das liegt daran, dass jede Zahl mit 1 multipliziert wieder sich selbst ergibt: 1 ∙ a = a, z.B. 1 ∙ 6 = 6. Durch Umstellen gilt: 6 : 1 = 6 und 6 : 6 = 1. Also hat 6 die Teiler 1 und 6.

Die 6 hat aber noch 2 und 3 als Teiler, weil man 2 ∙ 3 = 6 schreiben kann. Wenn man jetzt die 2 und 3 weiter analysiert, stellt man fest: 1 und 2 sind Teiler von 2, aber sonst gibt es keine weiteren Teiler, weil es ganz einfach keine weitere Zahl zwischen 1 und 2 gibt. 1 und 3 sind Teiler von 3, aber auch hier gibt es keine weiteren Teiler. Die einzige Zahl, die als Teiler in Frage kommt, ist die 2, weil sie zwischen 1 und 3 liegt. Aber 3 : 2 = 1 Rest 1. 3 lässt sich nicht ohne Rest durch 2 teilen.

Die 6 wird zusammengesetzte Zahl genannt, weil sie sich in 2 ∙ 3 zerlegen lässt. 2 und 3 werden Primzahlen genannt, weil sie sich nicht weiter zerlegen lassen.

Warum sind Primzahlen interessant?

Das Interessante ist, dass eine ganze Zahl entweder eine Primzahl ist oder durch multiplizieren mehrerer Primzahlen entsteht. Man nennt dies die Primfaktorzerlegung und die zu multiplizieren Zahlen Primfaktoren. Wir werden sehen, dass diese Tatsache sehr viele nützliche Anwendungen hat, vor allem beim Bruchrechnen.

Welche sind die ersten Primzahlen?

Die erste Primzahlen ist die 2. Das heißt aber, dass alle geraden Zahlen bis auf die 2 selbst keine Primzahlen sind, da ja alle geraden Zahlen durch 2 teilbar sind. Da alle geraden Zahlen auf 0, 2, 4, 6 und 8 enden, können weitere Zahlen, die auf diesen Ziffern enden schon mal keine Primzahlen mehr sein.

Die zweite Primzahl ist die 3. Das heißt, dass jede dritte Zahl keine Primzahl mehr sein kann, da diese ja durch 3 teilbar sind. Aber es ist wichtig zu verstehen, dass wir die Hälfte dieser durch 3 teilbaren Zahlen schon als Nichtprimzahlen erkannt haben, denn jede zweite dritte Zahl ist durch 6 teilbar und damit auch durch 2!

Die dritte Primzahl ist die 5. Da alle Zahlen, die durch 5 teilbar sind, auf 0 oder 5 enden, haben wir schon mal etwas sehr interessantes herausgefunden:

Alle Primzahlen, außer der 2, enden auf 1, 3, 7, 9!

Das liegt daran, dass wir mit dem 10er-System rechnen und 10 = 2 ∙ 5 ist. Deswegen enden alle Vielfache von 2 und 5 auf bestimmten Ziffern. Das ist wichtig, da man oftmals schnell herausfinden will, ob eine Zahl ein Primzahl ist oder nicht!

Wie findet man heraus, ob eine Zahl eine Primzahl ist?

Es ist nicht immer einfach herauszufinden, ob eine Zahl eine Primzahl ist oder nicht. Damit eine Zahl eine Primzahl ist, muss man theoretisch zeigen, dass keine ganze Zahl zwischen 1 und der Zahl selbst diese Zahl ohne Rest teilt, aber es gibt einige Tricks die dabei helfen.

  1. Zahlen, die auf 0, 2, 4, 5, 6 und 8 enden sind keine Primzahlen , da sie durch 2 oder 5 teilbar sind. Ausnahmen sind die 2 und die 5, die natürlich Primzahlen sind
  2. Jede Zahl, die ein Produkt zweier Zahlen ist, ist keine Primzahl. Beispiel: 3 ∙ 5 = 15, damit ist 15 keine Primzahl, da man die Multiplikation durch Teilen rückgängig machen kann: 15 : 5 = 3 und 15 : 3 = 5, also sind 3 und 5 Teiler von 15 und 15 ist damit keine Primzahl
  3. Wir müssen nur Primzahlen als mögliche Teiler testen, denn man kann alle Zahlen in Primzahlen zerlegen. Beispiel: 6 teilt 12 und 2 teilt 6, also teilt 2 auch die 12.
  4. Wir müssen nur zeigen, dass Primzahlen, die kleiner sind als die Wurzel der untersuchten Zahl keine Teiler der Zahl sind. Beispiel: die Wurzel aus 47 ist 6.855…, also müssen wir nur 2, 3 und 5 untersuchen. Da 2, 3 und 5 keine Teiler von 47 sind, ist 47 eine Primzahl

Warum gilt die Regel mit der Wurzel aus einer Primzahl?

Die Wurzel einer Zahl ist ja: a ∙ a = b. Wobei a die Wurzel von b ist. Wenn b jetzt einen Teiler hat, der größer als a ist, dann muss b auch einen Teiler haben der kleiner ist als a.

Beispiel: Die Wurzel von 51 ist 7.141… und 17 ist größer als die Wurzel. 17 ist ein Teiler von 51, denn 51 : 17 = 3. Das heißt aber durch Umstellen gilt: 3 ∙ 17 = 51. Das wiederum bedeutet 51 : 3 = 17. Also ist auch 3 ein Teiler von 51 und 3 ist kleiner als die Wurzel. Und wenn man den Teiler 3 findet, findet man so automatisch den Teiler 17.

Wenn c eine Zahl ist, die größer ist als die Wurzel von 51:

primzahl wurzel

7.141… ∙ 17 muss größer als 51 sein und damit erst recht c ∙ 17. Wenn ein Zahl mal 17 = 51 sein soll, muss diese also definitiv kleiner als die Wurzel sein!