Primfaktorzerlegung

In diesem Beitrag geht es um die Primfaktorzerlegung. Die Primfaktorzerlegung ist ein wichtiges Werkzeug um Brüche zu kürzen und zu erweitern. Sie hilft auch dabei, die Struktur der Zahlen zu verstehen.

Überblick: Primfaktorzerlegung
  • Die Primfaktorzerlegung teilt eine Zahl in möglichst kleine Faktoren auf, die miteinander multipliziert wieder die Ausgangszahl ergeben
  • Diese Faktoren sind Primzahlen, da jede Nichtprimzahl weiter zerlegt werden kann
  • Man kann jede Zahl in Primfaktoren zerlegen
  • Jede Zahl hat genau eine eindeutige Primfaktorzerlegung

Was ist die Primfaktorzerlegung?

Die Primfaktorzerlegung eine Methode, wie eine Zahl in kleinere Zahlen zerlegt wird, die dann miteinander multipliziert werden. Z.B. wird 24 in 4 ∙ 6 zerlegt. Wenn man zwei Zahlen multipliziert, dann nennt man diese Faktoren, also ist 4 ∙ 6 ein Faktorzerlegung von 24. Es ist aber noch keine Primfaktorzerlegung, weil 4 und 6 keine Primzahlen sind! Wir können aber einfach weitermachen und 4 und 6 auch weiter zerlegen:

Primfaktorzerlegung von 24

Wie man sieht, haben wir 4 in 2 ∙ 2 und 6 in 2 ∙ 3 zerlegt. Dann einfach die unnötigen Klammern weglassen und wir haben die Primfaktorzerlegung von 24, da wir keine Nichtprimzahl mehr übrig haben. Wenn man mehrmals dieselbe Primzahl hat, kann man sie als Potenz zusammenfassen.

Wir haben z.B. dreimal die 2 und können deshalb auch einfach 2³ schreiben. Wären noch Nichtprimzahlen übrig, muss man die Zerlegung einfach weiterführen, bis man nur noch Primzahlen hat. Diese Primzahlen werde Primfaktoren genannt.

Kann man jede Zahl in Primfaktoren zerlegen?

Ja, kann man! Ist eine Zahl selbst eine Primzahl, dann ist sie quasi schon zerlegt und hat einfach nur sich selbst als Primfaktor. Ist eine Zahl zusammengesetzt, dann kann man sie in 2 kleinere Zahlen zerlegen. Wenn nicht beide dieser Zahlen Primzahlen sind, kann man die Zahl weiter zerlegen. Das kann man aber nicht unendlich lange machen, weil die Zahl ja in immer kleinere Faktoren zerlegt wird. irgendwann muss man also immer mit Primzahlen enden!

Ist die Primfaktorzerlegung eindeutig?

Kommt immer dieselbe Primfaktorzerlegung heraus, egal wie man die Zahl zerlegt? Die 24 kann man anstatt in 4 ∙ 6 ja auch erst in 2 ∙ 12 oder 8 ∙ 3 zerlegen. Allerdings kommt am Ende tatsächlich immer die gleiche PFZ heraus.

Wenn es z.B. eine andere PFZ von 24 gäbe, sagen wir mit der 5 als einen Primfaktor, dann wäre 24 durch 5 teilbar. Dafür muss aber zwingend die 5 in der PFZ sein, was bei der Zerlegung 2³ ∙ 3 nicht der Fall ist.

Wenn es wiederum eine PFZ von 24 gäbe, in welcher der Primfaktor 2 nur zweimal statt dreimal vorkommt, dann wäre 24 nicht mehr durch 8 teilbar. Zahlen , die durch 8 teilbar sind, müssen den Primfaktor 2 nämlich mindesten dreimal haben.

Es kann also immer nur eine Primfaktorzerlegung geben! Denn wenn man Primfaktoren hinzufügt oder wegnimmt, wäre die Zahl durch ganz andere Zahlen teilbar.

(Hinweis: Der genaue Beweis für die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ist etwas komplizierter, aber es ist nützlich, das Prinzip zu verstehen.)