kgV: kleinstes gemeinsames Vielfaches

Dieser Beitrag behandelt das kleinste gemeinsame Vielfache. Das kleinste gemeinsame Vielfache wird vor allem dafür verwendet, um den Hauptnenner beim Bruchrechnen zu finden.

Überblick: kleinstes gemeinsames Vielfaches
  • Das kgV zweier Zahlen ist die kleinstmögliche Zahl, die ein Vielfaches beider Zahlen ist.
  • Man kann den kgV ermitteln, indem man die Vielfache beider Zahlen aufschreibt, bis sie ein Vielfaches gemeinsam haben
  • Das kgV ist die kleinstmögliche Zahl ist, die alle Primfaktoren beider Zahlen besitzt
  • Zusammenhang von kgV und ggT: kgv ggt zusammenhang

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache?

Definition: kleinstes gemeinsames Vielfaches
Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen ist die kleinstmögliche Zahl, die ein Vielfaches dieser beiden Zahlen ist.

Beispiel:
Wir haben die Zahlen 24 und 30 und wollen das kgV herausfinden. Dafür schreiben wir die Vielfachen dieser beiden Zahlen auf, bis wir das erste Mal ein gemeinsames Vielfaches finden:
24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, …
30, 60, 90, 120, 150, 180, …

Wir haben mit 120 das erste Mal ein gemeinsames Vielfaches von 24 und 30. Die 120 muss außerdem das kleinste gemeinsame Vielfache sein, da alle folgende Vielfache größer sind als 120.

Wie man sich vorstellen kann, ist es manchmal sehr aufwendig, alle Vielfache aufzuschreiben, bis man endlich ein gemeinsames gefunden hat. Aber dank der Primfaktorzerlegung gibt es einen einfacheren Weg, das kgV zu bestimmen:

Das kleinste gemeinsame Vielfache mit der Primfaktorzerlegung ermitteln

Man kann das kgV mittels der Primfaktorzerlegung ermitteln. Dabei nehmen wir wieder die Zahlen 24 und 30 und zerlegen sie in ihre Primfaktoren:

kgV Primfaktorzerlegung

Damit ein Vielfaches von 24 auch ein Vielfaches von 30 ist, muss dieses Vielfache alle Primfaktoren von 30 beinhalten. Da 24 schon die Primfaktoren 2 und 3 von 0 hat, müssen wir 24 nur noch mit 5 multiplizieren: 24 ∙ 5 = 120.

Umgekehrt ist ein Vielfaches von 30 auch ein Vielfaches von 24, wenn es alle Primfaktoren von 24 beinhalten. 30 hat schon die 3 und eine 2 als Primfaktor von 24, man muss also zwei Zweien, 2 ∙ 2 = 4 mit 30 multiplizieren: 30 ∙ 4 = 120.

Beide Male kommt 120 raus und das ist auch das kleinste gemeinsame Vielfache, das wir oben bestimmt haben. Warum das so ist, sieht man, wenn man sich die Primfaktorzerlegung von 120 anguckt:

kgV Primfaktorzerlegung 120

Wir können erkennen, dass 120 die kleinstmögliche Zahl ist, die alle Primfaktoren von 24 und 30 enthält. Darum geht es im Prinzip bei der Bestimmung des kgV.

Zusammenhang zwischen größten gemeinsamen Nenner und kleinsten gemeinsamen Teiler

Kennt man den ggT von 2 Zahlen, kann man den kgV ganz schnell berechnen, da es einen einfachen Zusammenhang zwischen ggT und kgV gibt. Dazu muss man sich erstmal überlegen, was passiert, wenn man die 2 Zahlen, nehmen wir wieder 24 und 30, multipliziert:

kgv primfaktoren

Wenn man sich die Primfaktorzerlegung von 720 genau anguckt, fällt auf, dass 720 eine 2 und eine 3 mehr hat als das kgV 120. Das sind aber genau die Primfaktoren, die 24 und 30 gemeinsam haben. Und die Primfaktoren, die zwei Zahlen gemeinsam haben ist wiederum der ggT! Durch das Multiplizieren haben wir die gemeinsamen Primfaktoren doppelt im Vergleich zum kgV. Wenn wir jetzt 24 ∙ 30 durch den ggT teilen, muss also das kgV dabei rauskommen:

Zusammenhang kgV und ggT
kgv ggt zusammenhang

Das kgV zweier Zahlen ist also das Produkt dieser Zahlen geteilt durch ihren ggT.