ggT: größte gemeinsame Teiler

In diesem Beitrag geht es um den größten gemeinsamen Teiler. Der ggT hat einige nützliche Anwendungen. In der Bruchrechnen hilft der größte gemeinsame Teiler beispielsweise beim Kürzen von Brüchen.

Überblick: Größter gemeinsamer Teiler
  • Der größte gemeinsame Teiler ist der größte Teiler, den Zahlen gemeinsam haben
  • Man kann den ggT ermitteln, indem man alle Teiler aufschreibt
  • Man den ggT zweier Zahlen auch finden, indem man alle Primfaktoren multipliziert, die die Zahlen gemeinsam haben
  • Man kann einen Bruch durch den ggT von Zähler und Nenner kürzen

Was ist der größte gemeinsame Teiler?

Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Zahl, die zwei (oder mehr) Zahlen teilt. Haben zwei Zahlen keine gemeinsamen Teiler, außer die 1, durch die man immer teilen kann, so nennt man die beiden Zahlen teilerfremd.

Beispiel:
Die Teiler von 24 sind: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 und 24
Die Teiler von 30 sind: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 und 30

Der größte gemeinsame Teiler von 24 und 30 ist 6, da dies die größte Zahl ist, die sowohl 24 als auch 30 teilt.

Hinweis: Da Primzahlen nur sich selbst und 1 als Teiler haben, sind zwei unterschiedliche Primzahlen immer teilerfremd, der ggT ist also 1.

Es ist aber ganz schön aufwendig, alle Teiler einer Zahl herauszufinden und aufzuschreiben. Es gibt glücklicherweise einen einfacheren Weg, den größten gemeinsamen Teiler zu ermitteln.

Den größten gemeinsamen Teiler mit der Primfaktorzerlegung ermitteln

Man kann den ggT auch mit Hilfe der Primfakorzerlegung ermitteln. Die Primfaktorzerlegung geht oft schneller als alle Teiler einer Zahl zu finden. Aber wie hilft uns jetzt die Primfaktorzerlegung dabei? Wir zerlegen erstmal die 24 und 30 vom obigen Beispiel in Primfaktoren:

ggt primfaktorzerlegung

Jetzt sieht man, dass beide Zahlen die Primfaktoren 2 und 3 gemeinsam haben, und 2 ∙ 3 = 6. Also ist 6 der größte gemeinsame Teiler von 24 und 30, denn wenn man z.B. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 durch 2 teilt, muss man einfach die 2 wegnehmen und erhält 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12. Da wir bei beiden Zahlen eine 2 und eine 3 (mehr aber auch nicht!) wegnehmen können, ist 6 der ggT!

Man kann einen gleichen Primfaktor auch mehrmals wegnehmen, wenn man ihn mehrmals hat:

ggt primfaktoren

Hier kommt die 2 bei beiden Primfaktoren mindestens zweimal vor. Der ggT von 8 und 12 ist also 2 ∙ 2 = 4.

Wofür braucht man den größten gemeinsamen Teiler?

Beim Bruchrechnen kann man Brüche häufig kürzen und dadurch vereinfachen. Der Clou ist jetzt, das der ggT von Zähler und Nenner die größte Zahl ist, durch die man kürzen kann. Das Ergebnis nennt man „vollständig gekürzer Bruch“, den man nicht weiter kürzen kann. Mehr dazu in Brüche kürzen und erweitern.