Brüche multiplizieren

Dieser Beitrag behandelt das Multiplizieren von Brüchen. Brüche zu multiplizieren ist relativ einfach, weil es eine einfache Regel gibt. Zu verstehen, warum diese Regel gilt, erfordert aber ein tieferes Verständnis der Bruchrechnung.

Überblick: Brüche multiplizieren
  • Man multipliziert einen Bruch mit einer ganzen Zahl, indem man den Zähler mit der Zahl multipliziert
  • Man multipliziert einen Bruch mit einem Stammbruch, indem man die beiden Nenner multipliziert
  • Man multipliziert zwei Brüche, indem man Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner rechnet
  • Man kann vor dem Multiplizieren oft noch kürzen
  • Bruchrechnen ist mit der Multiplikation verwandt, deswegen ergeben sich einfachere Gesetze als bei der Addition von Brüchen

Wie multipliziert man einen Bruch mit einer ganzen Zahl?

Man multipliziert einen Bruch mit einer ganzen Zahl, indem man den Bruch mit sich selbst addiert:

bruch mit ganze zahl multiplizieren

Der Nenner bleibt gleich, nur der Zähler wird multipliziert also kann man ganz einfach die ganze Zahl mit in den Zähler nehmen:

bruch mit ganze zahl multiplizieren2

Wie multipliziert man einen Bruch mit einem Stammbruch?

Ein Stammbruch ist ein Bruch mit 1 als Zähler, z.B. 1/2, 1/3, 1/7 usw. Aber wie multipliziert man jetzt so einen Bruch mit einen anderen Bruch, und was bedeutet das überhaupt, mit z.B. 1/3 zu multiplizieren? Erstmal ein einfaches Beispiel:

bruch mit stammbruch multiplizieren

Was bedeutet das jetzt aber? Wenn man zwei mal ein Drittel hat, hat man ja zwei Drittel. Einmal ein Drittel ist ein Drittel. Und Ein Halb mal ein Drittel ist die Hälfte von ein Drittel, also:

bruch mit stammbruch multiplizieren2

Mit 1/2 zu multiplizieren ist also nichts anderes, als durch 2 zu teilen. Nur wie teilt man einen Bruch durch eine ganze Zahl? Wenn man einen Kuchen in drei Stücke teilt, ist ein Kuchenstück ein Drittel des Kuchens. Will man jetzt die Hälfte davon, muss man dieses Stück einfach halbieren. Das ist aber das Gleiche, als hätte man den Kuchen in 2 ∙ 3 = 6 Stücke aufgeteilt und eins davon genommen, weil man hier sehen kann:

bruch mit stammbruch multiplizieren

Mit einem Stammbruch multiplizieren heißt, die Aufteilung zu verdoppelt. Da das der Nenner übernimmt, muss man also den Nenner verdoppeln:

zaehler mal zaehler

Man muss den Nenner des Stammbruchs einfach mit dem Nenner des Normalen Bruch multiplizieren.

Wie multipliziert man einen Bruch mit einem anderen Bruch?

Wir haben gesehen, wie man einen Bruch mit einer ganzen Zahl multipliziert und wie man einen Bruch mit einen Stammbruch multipliziert. Dies macht es sehr einfach zu verstehen, wie man beliebige Brüche multipliziert. Dazu muss man nur folgendes wissen:

bruch als ganze zahl mal stammbruch

Man kann also einen Bruch in eine ganze Zahl mal einen Stammbruch umformen. Damit können wir jetzt zwei Brüche multiplizieren. Hier ein Beispiel:

brueche multiplizieren

Hieraus erkennen wir eine sehr einfache Regel beim Multiplizieren von zwei Brüchen:

Regel beim Multiplizieren von Brüchen:

Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner!

Man kann die Brüche vor dem Multiplizieren oft Kürzen

Man kann die Multiplikation von Brüchen oft noch vereinfachen, wenn man die den Bruch vor dem Ausmultiplizieren kürzt:

brueche vor multiplizieren kuerzen

Die Brüche 5/8 und 4/15 sind zwar gekürzt, allerdings hat der Zähler von einem Bruch mit dem Nenner des anderen Bruchs einen gemeinsamen Teiler. Multipliziert man die Brüche, so kann man sogar noch vor dem Ausrechnen kürzen, indem man einfach Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner als einen Bruch schreibt und dann kürzt!

Warum ist es einfacher Brüche zu multiplizieren als zu addieren?

Multiplizieren gilt allgemein als komplizierter als Addieren. Warum ist es aber beim Bruchrechnen einfacher? Man muss nur Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner rechnen, während man beim Addieren erst aufwendig einen gemeinsamen Nenner suchen muss!

Der Grund dafür liegt in der Natur der Brüche: Ein Bruch ist im Prinzip nur eine nicht ausgerechnete Division, 3/4 ist nichts anderes 3 geteilt durch 4. Division und Multiplikation sind aber eng miteinander verwandt, da Division die Umkehrung der Multiplikation ist. Deshalb ergeben sich so einfache Gesetzmäßigkeiten beim Multiplizieren von Brüchen.