Brüche kürzen und erweitern

In diesem Beitrag geht es um das Erweitern und Kürzen von Brüchen. Dies sind wichtige Anwendungen in der Bruchrechnung. Das Brüche kürzen führt oft zu einer einfacheren und übersichtlicheren Darstellung der Brüche, während das Erweitern oft erst möglich macht, Brüche zu addieren oder zu subtrahieren.

Überblick: Brüche kürzen und erweitern
  • Durch Kürzen kann man einen Bruch vereinfachen, indem man Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl teilt
  • Ein vollständig gekürzter Bruch kann man nicht mehr weiter gekürzt werden
  • Man erhält einen vollständig gekürzten Bruch, wenn man den Bruch durch den ggT von Zähler und Nenner kürzt
  • Man erweitert einen Bruch, indem man Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert
  • Durch Erweitern kann man Brüche addieren oder in Prozentzahlen umwandeln

Was ist das Kürzen von Brüchen?

Einen Bruch kürzen heißt, dass man bei einem Bruch den Zähler und den Nenner durch die gleiche Zahl teilt. Interessanterweise ändert sich der Wert des Bruchs dadurch nicht:

bruch kuerzen beispiel

Hier wird bei dem Bruch 2/4 jeweils der Zähler und der Nenner durch 2 geteilt. Man sieht, dass durch das Kürzen ein einfacherer Bruch entsteht, unter ein halb kann man sich mehr vorstellen, als unter zwei Viertel. Auch wird das Rechnen durch das Kürzen häufig einfacher.

Was ist ein vollständig gekürzter Bruch?

Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn es nicht mehr möglich ist ihn weiter zu kürzen. Hier ein Beispiel:

teilweise gekuerzter bruch

Wir haben den Bruch 140/210 mit 7 gekürzt und 20/30 erhalten. Er kann aber offensichtlich noch weiter gekürzt werden, denn sowohl 20 als auch 30 sind durch 10 teilbar:

vollstandig gekuerzter bruch

Der Bruch wird durch Kürzen zu 2/3. Das ist nicht mehr weiter kürzbar, da 2 und 3 nicht mehr weiter kürzbar ist.

Wie kürzt man einen Bruch mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT)?

Man kann einen Bruch mit Hilfe des größten gemeinsamen Teiler vollständig kürzen. Das Praktische an dieser Methode ist, dass man sich sicher sein kann, dass der Bruch auch vollständig gekürzt ist. Erstmal muss man die Primfaktorzerlegung jeweils bei Zähler und Nenner anwenden. Wir verwenden einfach nochmal das Beispiel 140/210:

bruch kuerzen primfaktorzerlegung

Wir sehen, dass 140 und 210 die Primfaktoren 2, 5 und 7 gemein haben. Wollen wir den Bruch jetzt kürzen, müssen wir einfach durch 2 mal 5 mal 7 = 70 teilen, da 70 der größte gemeinsame Teiler ist. Man kann aber auch anders vorgehen und die Primfaktoren einfach streichen:

bruch primfaktor kuerzen

Da in der PFZ vom Zähler und Nenner die 2 vorkommt, heißt das, dass beide Zahlen durch 2 teilbar sind. Wenn wir die 2 jeweils im Zähler und im Nenner streichen, ist das das Gleiche, wie wenn wir beide Zahlen durch 2 teilen. Wichtig ist nur, wenn man im Zähler die 2 streicht, dann muss man das auch im Nenner tun und umgekehrt. Das Gleiche gilt auch für die 5 und die 7.

Was ist das Erweitern von Brüchen

Das Erweitern von Brüchen ist verwandt mit dem Kürzen, es ist im Prinzip die Umkehrung. Man multipliziert dabei den Nenner und den Zähler mit der gleichen Zahl. Hier ein Beispiel zum Erweitern von Brüchen:

erweitern von bruechen beispiel

Aber wieso sollte man das tun? Könnte man den Bruch nicht einfach mit 5 kürzen und hätte 3/4? Ja klar und in vielen Fällen wäre das auch das Beste, einen Nutzen hat vor allen das Erweitern auf den Nenner 100: Man kann ganz einfach den Bruch in eine Prozentzahl umrechnen, denn Prozent heißt nichts anders als „von Hundert“, also sind 75/100 = 75%. Noch wichtiger ist folgende Anwendung:

Brüche erweitern um den Hauptnenner zu finden

Um zwei Brüche addieren oder subtrahieren zu können, Brauchen beide einen gemeinsamen Nenner, denn wir wissen nicht, wie man Brüche mit unterschiedlichen Nennern zusammenzählt:

brueche addieren durch erweitern

Hier haben wir einfach den einen Bruch mit dem Nenner vom anderen Bruch erweitert und umgekehrt. Dadurch haben wir automatisch zweimal den gleichen Nenner, nämlich Nenner 1 mal Nenner 2. Jetzt können wir die Brüche problemlos zusammenzählen, indem wir einfach die Zähler addieren. Mehr zu diesem Thema unter: Bruchzahlen addieren und subtrahieren