Brüche in Dezimalzahlen umrechnen

In diesem Beitrag geht es darum, Brüche in Dezimalzahlen umzurechnen und umgekehrt. Man muss dabei bedenken, dass ein Bruch nichts anderes als eine Division darstellt. Um eine unendliche Kommazahl in einen Bruch umzuwandeln, muss man einen Trick kennen.

Überblick: Brüche in Dezimalzahlen umrechnen
  • Man kann einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln, indem man Zähler durch Nenner rechnet
  • Man kann nur endliche oder unendlich-periodische Kommazahlen in einen Bruch umwandeln
  • Endliche Kommazahlen werden in einen Bruch umgewandelt, indem man die Zahl ohne Komma in den Zähler und 1 plus soviele Nullen, wie man Nachkommastellen hat in den Nenner schreibt
  • Unendlich-periodische Kommazahlen wandelt man in einen Bruch um, indem man die Periode in den Zähler schreibt. In den Nenner kommt die Zahl, die soviele Neunen am Anfang hat, wie die Periode lang ist und soviele Nullen am Ende, wie Ziffern zwischen dem Komma und dem Anfang der Periode liegen

Wie wandelt man einen Bruch in eine Dezimalzahl um?

Ein Bruch ist nicht anderes als eine andere Schreibweise für eine Division. Das heißt 3/5 ist nichts anderes als 3 geteilt durch 5. Also kann man einfach 3 durch 5 = 0,6 rechnen und das war es schon. Manchmal kommt dabei eine periodisch unendliche Dezimalzahl raus. Das ist eine Kommazahl mit unendlich viele Kommastellen, die sich aber ab einem bestimmten Punkt wiederholen. 2/11 ist z.B. gleich 0,181818…

Beispiele:

bruch als dezimalzahl

Wie man im Beispiel IIIa) sieht, kann man einen gemischten Bruch, also einen Bruch mit einer ganzen Zahl davor, erst in einen unechten Bruch umwandeln und dann einfach den Zähler durch den Nenner teilen. Man kann aber auch wie in IIIb) den Bruch direkt umwandeln und die ganze Zahl einfach dazu addieren.

Wie wandelt man eine Dezimalzahl in einen Bruch um?

Wir müssen einen Unterschied machen zwischen Dezimalzahlen mit endlichen und unendlichen Kommastellen:

endlich: Bei endlich vielen Kommastellen ist es ganz einfach. Die erste Kommastelle steht für ein Zehntel, die zweite für ein Hundertstel, die dritte für ein Tausendstel usw.

Man kann jetzt einfach die Nachkommastellen zählen und dann das Komma wegstreichen, die Zahl als Zähler nehmen und in Nenner die Zahl nehmen, die mit 1 anfängt und so viele Nullen wie Nachkommastellen hat. Hier ein Beispiel:

dezimalzahl als bruch

unendlich: Zuerst ist wichtig, dass wir nur periodisch unendliche Dezimalzahlen in Brüche umwandeln können. Denn sogenannte irrationale Zahlen wie z.B. die Kreiszahl Pi haben unendlich viele Stellen, die keiner kennt. Damit kennt auch keiner den genauen Wert von Pi. Wie soll man Pi dann als Bruch mit endlich großen Zahlen als Zähler und Nenner schreiben?

Wenn wir die Bruchzahl 1/3 als Dezimalzahl schreiben, kommt folgendes bei raus:

unendliche dezimalzahl

Wie man sieht ist ein Drittel eine periodisch-unendliche Kommazahl. Wir wissen somit im Umkehrschluss auch, dass es eine periodisch-unendlich Kommazahl 0,3333… gibt, die man als bruch 1/3 schreiben kann. Aber geht das wirklich immer und wenn ja wie? Hier ein paar Beispiele:

unendliche kommanzahl als bruch

Wie man sieht, kann man die Periode irgendwie in einen Bruch umwandeln, wenn man sie durch Zahlen wie 99, 9999, 9000 oder 9900 teilt, aber wieso?

Wenn wir 7 : 10 rechnen, kommt 0,7 raus, wenn wir aber 7 : 9 rechnen, kommt 0,777… raus. Das liegt daran, dass 9 = 10 – 1 ist. Dieses minus 1 sorgt immer wieder dafür, dass der Rest 7 entsteht und von Neuem 7 : 9 gerechnet wird. Das kann man leicht durch schriftliche Division nachprüfen.

Bei 72 : 99 kommt auch immer wieder 72 als Rest raus, weil 99 = 100 – 1 ist. Es müssen nur immer so viele Neuer sein, wie die Periode lang ist (Anzahl der Ziffern, die sich wiederholen).

Manchmal fängt die Periode noch nicht bei der ersten Kommastelle an, sondern z.B. bei der Dritten, wie bei Beispiel III) und IV). Man muss hier einfach noch zwei Nullen an den Neunen dranhängen. Das schrumpft die Zahl auf ein Hundertstel, was bewirkt, dass die Periode um 2 Stellen nach hinten verschoben wird.

Warum muss man einen Bruch in eine Dezimalzahl umrechnen und umgekehrt?

Manchmal hat man eine Dezimalzahl und einen Bruch und muss diese addieren, multiplizieren usw. Hier ist es oft besser die Zahlen auf die gleiche Art darzustellen, also beide als Bruch oder beide als Dezimalzahl. Häufig ist es auch gewünscht oder einfach üblich, Zahlen in Dezimalzahlen oder Brüchen zu schreiben.