Brüche dividieren

In diesem Beitrag geht es um das Teilen von Brüchen. Wenn man das Multiplizieren von Brüchen verstanden hat, ist die Division von Brüchen auch nicht mehr so schwer. Am besten versteht man das durch Tortendiagramme

Überblick: Brüche dividieren
  • Man teilt einen Bruch durch eine ganze Zahl, indem man die Zahl mit dem Nenner multipliziert
  • Man teilt eine ganze Zahl durch einen Stammbruch, indem man die ganze Zahl mit dem Nenner des Stammbruchs multipliziert
  • Man teilt einen Bruch durch einen Stammbruch, indem man den Zähler des Bruchs mit dem Nenner des Stammbruchs multipliziert
  • Man dividiert zwei Brüche, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert: Nenner mal Zähler und Zähler mal Nenner
  • Man kann vor dem Dividieren oft noch kürzen

Um diesen Beitrag besser zu verstehen, kann es helfen, den Beitrag „Brüche multiplizieren“ durchzulesen, da viele Konzepte sich ähneln.

Wie teilt man einen Bruch durch eine ganze Zahl?

Wenn man etwas durch eine ganze Zahl, z.B. 3 teilt, dann heißt das, dass es in drei gleich große Teile geteilt wird. Wenn man jetzt Bruch hat, wie teilt man aber einen Bruch auf? Wenn man sich einen Bruch als Kuchen vorstellt, kann man ganz einfach jedes „Kuchenstück“ durch 3 teilen:

bruch durch ganze zahl dividieren

Man hat den Bruch 2/3 und teilt ihn durch 3, indem man jedes „Kuchenstück“ einzeln durch 3 teilt. Am Ende sortiert man die Stücke und erkennt, dass das Ergebnis 2/9 ist. Wir haben also durch eine ganze Zahl geteilt, indem wir einfach die Aufteilung des Kuchens erhöht haben. Die Aufteilung des Kuchens ist aber nichts anderes als der Nenner, also halten wir fest:

Man teilt einen Bruch durch eine ganze Zahl, indem man den Nenner mit der ganzen Zahl multipliziert.

Wie teilt man einen Bruch durch einen Stammbruch?

Ein Stammbruch ist ein Bruch, der den Zähler 1 hat, wie z.B. 1/3, 1/7 oder 1/13. Hier ein Beispiel, wie man eine ganze Zahl durch einen Stammbruch teilt:

ganze zahl durch stammbruch teilen

Was passiert, wenn man eine Zahl durch 1/3 teilt? Wenn man eine Zahl z.B. durch 5 teilt, teilt man sie in fünf gleich große Stücke, aber man kann ja jetzt schlecht eine Zahl in ein Drittel gleich große Stücke teilen!
Man kann die Sache aber auch aus einem anderen Blickwinkel sehen: Teilt man eine Zahl durch 5, dann prüft man, wie viele Fünferstücke man bilden kann. Beispiel:

15 : 5 kann in drei 5 Fünferstücke aufteilen.

Und das Gleiche geht jetzt auch bei geteilt durch 1/3:

2 : 1/3 kann man in 6 ein Drittelstücke aufteilten. Wenn man also 2 Kuchen hat, kann man jeden Kuchen in drei Stücke teilen und hat dadurch 6 Stücke!

ganze zahl durch stammbruch teilen2

Man teilt eine ganze Zahl durch einen Stammbruch, indem man die ganze Zahl mit dem Nenner des Stammbruchs multipliziert.

Das Gleiche gilt jetzt aber auch, wenn man einen Bruch durch einen Stammbruch teilt:

bruch durch stammbruch teilen

Wir haben 2/7 und wollen wissen, in wie viele 1/3 Stücke den Bruch teilen können. Eigentlich ist nur der Zähler wichtig: Wir haben 2 (von 7) und teilen diese 2 in Drittel Stücke. Wir haben schon oben ausgerechnet, dass das 6 ergibt. Also gilt die Regel:

Man teilt einen Bruch durch einen Stammbruch, indem man den Zähler des Bruchs mit dem Nenner des Stammbruchs multipliziert.

Wie teilt man einen Bruch durch einen anderen Bruch

Wir wissen jetzt, wie man einen Bruch durch eine ganze Zahl oder einen Stammbruch teilt. Das können wir nutzen, um durch beliebige Brüche zu dividieren, wenn man Folgendes bedenkt:

bruch als ganze zahl mal stammbruch

Wir können jeden Bruch als Multiplikation von einer ganzen Zahl und eine Stammbruch schreiben. Hier ein Beispiel für die Division von Brüchen:

bruch durch bruch teilen

Bei dem Bruch, duch den geteilt wird, wird der Nenner mit dem Zähler multipliziert und der Zähler mit dem Nenner. Wenn wir bei 4/5 einfach Nenner mit Zähler vertauscht, also aus 4/5 machen wir 5/4, dann können wir die Brüche auch einfach multiplizieren (Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner, wie man hier lernt:Brüche multiplizieren).

Der Bruch der dabei rauskommt, wenn man Zähler und Nenner vertauscht, nennt man Kehrbruch. 5/4 ist der Kehrbruch vo 4/5. Jetzt wissen wir, wir man einen Bruch durch einen anderen dividiert:

Man dividiert zwei Brüche, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.

Man kann die Brüche vor dem Dividieren oft Kürzen

Man kann die Brüche unter Umständen kürzen, bevor man ausrechnet:

brueche vor division kuerzen

Die Ausgangsbrüche 5/12 und 15/8 sind gekürzt, aber wenn man 5/12 mit 8/15 (dem Kehrbruch von 15/8) multipliziert und in einem Bruch schreibt, kann man den Bruch kürzen und so noch vor dem Ausmultiplizieren vereinfachen!