Bruchzahlen addieren und subtrahieren

In diesem Beitrag geht es darum, Bruchzahlen zu addieren und zu subtrahieren. Das ist leider manchmal etwas schwieriger, weil man erst den so genannten Hauptnenner finden muss.

Überblick: Bruchzahlen addieren und subtrahieren
  • Man addiert Bruchzahlen mit gleichen Nenner, indem man einfach die Zähler addiert
  • Wir können Brüche mit unterschiedlichen Nenner nicht addieren, wir müssen sie erst auf einen gemeinsamen Nenner bringen
  • Einen gemeinsamen Nenner findet man immer, wenn man beide Nenner multipliziert
  • Der Hauptnenner ist der kleinste gemeinsame Nenner
  • Man subtrahiert Brüche nach dem gleichen Prinzip, mit dem man Brüche addiert

Wie addiert man Bruchzahlen mit gleichem Nenner?

Um Bruchzahlen zu addieren, muss man sich erstmal überlegen, was eine Bruchzahl überhaupt ist. Hat eine Bruchzahl den Nenner 4 und den Zähler 4, dann hat man quasi 4 von 4 Teilen, also 1 Ganzes. Ist der Zähler 3, dann hat man 3 von 4 Teilen:

brueche addieren gleicher nenner

Wie man erkennt, haben wir erstmal einen Kreis in vier Teile geteilt, was den Nenner darstellen soll. Dann haben wir so viele „Kuchenstücke“ gefärbt, wie der Zähler groß ist. Man sieht schön, wie sich das Ergebnis der Addition aus gelben und orangen Stücken der zu addierende Brüchen zusammensetzt. Man muss bei der Addition mit gleichem Nenner also nur die Zähler zusammenzählen.

Wie addiert man Brüche mit unterschiedlichen Nenner?

Das Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern ist deutlich schwieriger. Das Problem ist nämlich, dass man unterschiedlich große „Kuchenstücke“ nicht zusammenzählen kann:

brueche addieren unterschiedlicher nenner

Wie man sieht, ist 1/2 + 1/3 graphische fast so leicht zu lösen, wie im Beispiel mit gleichem Nenner. Aber wie heißt jetzt das Ergebnis? Nun, wir wissen wie wir Brüche mit gleichen Nenner addieren können und wir wissen, dass man Brüche erweitern kann. Wenn man die Brüche also so erweitert, bis sie den gleichen Nenner haben, dann können wir sie auch addieren!

Wie bringt man Brüche auf den gleichen Nenner?

Wie haben also zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern und wollen diese so erweitern, dass sie den gleichen Nenner haben, aber wie? Wir können jeden Bruch mit jeder Zahl erweitern, wodurch der Nenner vervielfacht wird. Wir müssen also eine Zahl finden, die das Vielfache von beiden Nennern ist.

Der Trick ist, dass wir einfach die beiden Nenner multiplizieren: 2 ∙ 3 = 6. Die 6 ist ein Vielfaches von 2, genauer gesagt das dreifache von 2. Sie ist aber auch in Vielfaches von 3, nämlich das Doppelte. Damit können wir jetzt 1/2 + 1/3 ausrechnen:

brueche addieren unterschiedlicher nenner

Man kann sich das graphisch so vorstellen, dass die Kuchenstücke einfach in kleinere Stücke geschnitten werden, damit sie vergleichbar werden:

brueche erweitern und addieren

Diese Methode funktioniert immer, hat aber einen kleinen Schönheitsfehler, wie folgendes Beispiel zeigt:

brueche addieren ungekuerzt

Erstmal werden die Zahlen ziemlich groß und zweitens ist 234/360 nicht gekürzt. Man kann den Bruch noch mit 6 kürzen:

brueche addieren kuerzen

Jetzt ist der Bruch gekürzt mit dem Nenner 60. Diesen Nenner nennt man den Hauptnenner von 12 und 30. Es wäre praktisch, wenn es einen Weg gäbe, dass der Bruch nach dem addieren schon gekürzt ist. Dafür muss man aber vor dem Addieren den Hauptnenner herausfinden.

Wie bestimmt man den Hauptnenner?

In dem Beitrag zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen haben wir folgende Formel entdeckt:

kgv ggt zusammenhang

Das kleinste gemeinsame Vielfache ist also das Produkt a ∙ b geteilt durch den größten gemeinsamen Teiler. Wenn jetzt a und b die beiden Nenner sind, dann haben wir ja im obigen Beispiel mit 5/12 + 7/30 die beiden Nenner 12 und 30 multipliziert um einen gemeinsamen Nenner zu erhalten. Nach dem Addieren haben wir noch mit 6 gekürzt.

Die 6 ist aber der größte gemeinsame Teiler von 12 und 30, also muss nach der obigen Formel der Hauptnenner 60 das kgV von 12 und 30, was auch so stimmt. Und das macht auch furchtbar viel Sinn, denn wir suchen ja die kleinste Zahl, die ein Vielfaches von beiden Nenner ist. Und genau das ist ja das kgV!

Wir können also die Rechnung 5/12 + 7/30 von oben abkürzen, indem wir gleich auf den Hauptnenner erweitern:

brueche addieren hauptnenner

Jetzt müssen wir den Bruch gar nicht mehr kürzen! Der Bruch wäre nur möglicherweise noch kürzbar, wenn die Ausgangsbrüche nicht gekürzt waren. Da 5/12 und 7/30 nicht mehr kürzbar sind, ist es 39/60 auch nicht.

Wie subtrahiert man Brüche?

Da Addition und Subtraktion eng miteinander verwandt sind, funktioniert die Subtraktion von Brüchen im Prinzip genauso wie die Addition: Man muss die Brüche auf einen Nenner bringen und kann dann den einen Bruch vom Anderen Subtrahieren. Dabei zieht man den einen Zähler vom Anderen ab, der Nenner bleibt unverändert.