3. Binomische Formel

In diesem Beitrag geht es um die 3. Binomische Formel. Die 3. Binomische Formel unterscheidet sich ein wenig von den anderen beiden, da hier kein Quadrat ausgerechnet wird. Sie ist besonders einfach zu merken und hat eine sehr nützliche Anwendung beim Teilen durch komplexe Zahlen.

Wie lautet die 3. Binomische Formel?

Die 3. Binomische Formel lautet:

3 binomische formel

Herleitung der Formel:

Um die 3. Binomische Formel herzuleiten, braucht man einfach nur die Klammer auszurechnen:

3 binomische formel herleitung

Das a ∙ b kürzt sich heraus, das -a ∙ b + a ∙ b = 0 ist. Dieses Wegkürzen von a ∙ b passiert deswegen bei dritten, aber nicht bei der ersten oder zweiten Binomischen Formel, weil das Rechenzeichen einmal Minus und einmal Plus ist.

Veranschaulichung der 3. Binomischen Formel:

Die 3. Binomische Formel zu veranschaulichen, ist ein wenig schwerer als bei den anderen beiden Binomischen Formeln. Man zeichnet dazu ein Rechteck mit den Seitenlängen a und (a+b):

3 binomische formel veranschaulichung1

Die rot schraffierte Fläche ist gesucht, da sie senkrecht die Seitenlängen (a-b) hat und waagerecht die Seitenlänge (a+b). Mit der folgenden Grafik kann man erklären, warum diese Fläche a²-b² sein soll:

3 binomische formel veranschaulichung2

Die orange und die grüne Fläche sind zusammen a². Die blaue und die grüne Fläche sind beide gleich, nämlich a ∙ b groß. Um die rot schraffierte Fläche aus dem ersten Bild zu bekommen, kann die grüne mit der blauen Fläche tauschen und sieht bei genauem Hinsehen, dass a² um b² zu groß ist, um (a+b) ∙ (a-b) zu sein. Also ziehen wir b² einfach von a² ab:

3 binomische formel rechenweg

Damit haben wir die 3. Binomische Formel graphisch veranschaulicht!