2. Binomische Formel

In diesem Beitrag geht es um die 2. Binomische Formel. Sie ähnelt der 1. binomische Formel und unterscheidet sich von ihr lediglich dadurch, dass das Pluszeichen durch das Minuszeichen ersetzt wird. Genauso wie bei der Ersten lohnt es sich auch, die 2. Binomische Formel auswendig zu können.

Wie lautet die 2. Binomische Formel?

Die 2. Binomische Formel lautet:

2 binomische formel

Herleitung der Formel:

Es gilt x² = x ∙ x. Wenn man jetzt anstatt x den Ausdruck (a-b) benutzt, kann man schreiben:

2 binomische formel quadrat

Wir müssen jetzt lediglich die Klammern ausrechnen:

2 binomische formel herleitung

Hierbei ist wichtig, dass (-b) ∙ (-b) gleich b² ist und -a ∙ b das gleiche ist wie -b ∙ a. Also haben wie -ab zweimal und können es zu -2ab zusammenfassen. Damit haben wir die 2. Binomische Formel auch schon hergeleitet.

Veranschaulichung der 2. Binomischen Formel:

Um die 2. Binomische Formel graphisch darzustellen, zeichnet man erstmal ein Quadrat mit der Seitenlänge a. Dann teilt man die Seiten jeweils in b und (a-b) ein wie in folgendem Bild:

2 binomische formel veranschaulichung

Das gesamte Quadrat hat die Fläche a². Um jetzt (a-b)² als Fläche zu bekommen, müssen wir von a² die Fläche b² sowie die beiden anderen Flächen abziehen. b² plus eine der beiden leeren Flächen ist die Fläche ab, weil es ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b ist. Wenn wir jetzt von a² zweimal ab abziehen:

2 binomische formel rechenschritt1

Dann sind wir fast am Ziel. Das Problem ist nur, dass wir so die Fläche b² zweimal abgezogen haben. Wir dürfen diese aber nur einmal abziehen deswegen rechnen wir sie einfach wieder hinzu:

2 binomische formel rechenschritt2

Und damit haben wir auch schon wieder die 2. Binomische Formel:

2 binomische formel