Ungleichungen

Dieser Beitrag behandelt das Thema Ungleichungen. Die Art, wie man Ungleichungen mathematisch behandelt, ähnelt sehr der Behandlung von Gleichungen. Man muss aber ein paar wichtige Dinge beachten.

Überblick: Ungleichungen
  • Bei einer Ungleichung werden zwei mathematische Ausdrücke miteinander verglichen
  • Auch in Ungleichungen können Variablen vorkommen
  • Man kann Ungleichungen im Prinzip genauso umstellen wie Gleichungen
  • Wenn man eine Ungleichung mit 2 Variablen hat, kann man die Zahlenpaare, für die die Ungleichung stimmt, graphisch darstellen

Was ist eine Ungleichung?

Eine Ungleichungen sind zwei mathematische Ausdrücke, die miteinander verglichen werden. Dabei gibt es verschiedene Möglichkeiten des Vergleichens:

≠ ungleich: Die beiden Ausdrücke sind nicht gleich
< kleiner: Der linke Ausdruck ist kleiner als der Rechte
> größer: Der linke Ausdruck ist größer als der Rechte
≤ kleiner gleich: Der linke Ausdruck ist kleiner als oder gleich groß wie der Rechte
≥ größer gleich: Der linke Ausdruck ist größer oder gleich groß wie der Rechte

Es heißt also quasi immer dann Ungleichung, wenn nicht das Gleichheitszeichen zum Vergleich verwendet wird. Am Besten schaut man sich ein paar Beispiele von Ungleichungen an:

ungleichungen beispiele

3 ist nicht gleich 4, 3 + 4 ist 7 und damit kleiner als 9 und 2 ∙ 3 ist 6. Und 6 ist größer gleich 6. Es ist wichtig zu verstehen, dass 2 ∙ 3 nicht größer als 6 ist! 2 ∙3 > 6 ist also falsch, denn 2 ∙ 3 =6. Hier muss man immer bedenken, dass größer gleich für beides, eben größer oder gleich steht. Die letzte Ungleichung hat die Variable x. Aber für was steht x?

Wie löst man eine Ungleichung?

Will man die Ungleichung 2 + x ≤ 5 lösen, dann bedeutet das, dass man wissen möchte, welche Zahlen man für x einsetzten kann, damit die Ungleichung stimmt. Wenn wir z.B. für x die 2 oder die 10 einsetzen, sehen wir ziemlich schnell, dass 2 + 2 kleiner ist als 5, aber 2 + 10 größer. Um aber alle Zahlen für x zu finden, für die die Gleichung aufgeht, müssen wir die Gleichung so umstellen, dass auf einer Seite nur noch x steht:

ungleichung loesen

Die Ungleichung stimmt immer dann, wenn für x eine Zahl eingesetzt wird, die 3 oder kleiner als 3 ist. Wie man sehen kann,behandelt man Ungleichungen ähnlich wie Gleichungen.

Wie löst man Ungleichungen mit 2 Variablen

Genauso wie man eine Gleichung mit 2 Variablen normalerweise nicht eindeutig lösen kann, so geht das auch nicht mit Ungleichungen. Aber genauso wie man Gleichungen mit zwei Variablen nach einer Variable auflösen und wie eine Funktion behandeln kann, so kann man das auch mit Ungleichungen. Beispiel:

ungleichung mit 2 variablen

Wenn wir y < 2x + 1 jetzt wie eine Funktion behandeln und für x verschiedene Werte einsetzten, können wir sehen, wir groß y höchstens sein darf. Ist x = 1 muss y kleiner als 3 sein, weil 2 ∙ 1 + 1 = 3.
Ist x = 0, dann ist 2 ∙ 0 + 1 = 1. Also muss y kleiner als 0 sein.

Wie kann man eine Ungleichung graphisch darstellen?

Da wir eine Ungleichung mit 2 Unbekannten wie eine Funktion behandelt haben, können wir diese auch wie eine Funktion graphisch darstellen:

Ungleichungen graphisch lösen

Dabei repräsentiert die orange Fläche unter der Kurve alle Paare von x und y, für die Ungleichung gilt. Z.B. ist der Punkt (1|1), also x = 1 und y = 1, in der orange Flächen und es gilt auch: 1 < 2 ∙ 1 + 1. Der Punkt (0|2) liegt nicht in der orangen Fläche und 2 < 2 ∙ 0 + 1 ist auch falsch. Aber warum ist das so? Der Graph sagt uns, welchen Wert y hat, wenn wir eine Zahl für x in die Gleichung y = 2 ∙ x + 1 eingeben. Wir interessieren uns aber nicht dafür, wann y gleich ist, sondern wann y kleiner ist! Und da y nach unten hin kleiner wird, muss die Ungleichung für alle y unter dem Graphen stimmen.

Hinweis: Der Graph selbst zählt nicht zur orangen Fläche, weil der Graph die Werte für „y gleich“ und nicht „y kleiner“ darstellt. Aber: Wenn wir die Ungleichung y \leq 2x +1 lösen, gehört der Graph mit zu den möglichen Paaren von x und y, weil wir jetzt die Werte „y kleiner gleich“ suchen!