Gleichungssysteme

In diesem Beitrag geht es um Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen. Gleichungssysteme kommen im Alltag häufg vor, z.B. kann man mit ihnen berechen, welcher Mobilfunktarif der Beste für eine ist.

Überblick: Gleichungssysteme
  • Gleichungssysteme bestehen aus 2 oder mehr Gleichungen
  • Eine Variable, die in mehreren Gleichungen vorkommt, hat in allen den gleichen Wert
  • Um ein Gleichungssystem zu lösen, muss man eine Gleichung in die andere einsetzen, bis man nur noch eine Variable hat
  • Eine Gleichung mit nur einer Variablen lässt sich lösen, das Ergebnis kann man dann in die andere Gleichung einsetzen
  • Am Ende sollte man die Probe machen, ob alle Gleichungen stimmen. Man macht nämlich oft Fehler beim Umformen

Was ist ein Gleichungssystem?

Ein Gleichungssystem sind mehrere Gleichungen, die gleiche unbekannte Größen haben. Bilden z.B. zwei Gleichungen, in denen bei beiden ein x vorkommt, ein Gleichungssystem, dann bedeutet das, dass das x in beiden Gleichung für die gleiche Zahl steht. Das ist sehr wichtig zu verstehen! Beispiel:

I) 2x + 4y = 22
II) 3x + 2y = 17

In beiden Gleichungen haben sowohl das x als auch das y den gleichen Wert! Die Frage ist jetzt nur, welches x und welches y?

Wie löst man ein Gleichungssysteme?

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Gleichungssysteme zu lösen, aber alle Methoden basieren auf dem gleichen Prinzip: Man kann eine Gleichung mit zwei Unbekannten nicht lösen (sondern nur Gleichungen mit einer Unbekannten). Darum muss man eine Unbekannte aus einer Gleichung loswerden. Das passiert wiederum mit Hilfe der anderen Gleichung. Am Besten sieht man das an einem Beispiel:

Einsetzungsverfahren:

I) 3x + y = 13
II) y = 2x + 3

Die zweite Gleichung ist schon nach y aufgelöst. Das heißt 2x + 3 ist genauso groß wie y. Und das y in der zweiten Gleichung ist genau so groß wie das y in der Ersten. Uns hält also nichts davon ab 2x + 3 für das y in die erste Gleichung einzusetzen:

Den Wert für x berechnen x berechnen

I) 3x + (2x + 3) = 13

Durch Ausrechnen erhalten wir:

5x + 3 = 13

5x = 10

x = 2

Den Wert für y berechnen

Wir haben herausgefunden das x = 2 ist. Wie findet man jetzt heraus, was y ist? Wir haben nur noch eine Unbekannte (weil x ja jetzt bekannt ist). Wir können für x einfach 2 in beide Gleichungen einsetzen und nach y auflösen:

I) 3 * 2 + y = 13
6 + y = 13
y = 7

II) y = 2 * 2 + 3
y = 4 + 3
y = 7

Für beide Gleichungen kommt y = 7 raus, was auch so sein muss, schließlich war ja die Voraussetzung, dass in beiden Gleichungen x und y die gleichen Werte haben.

Probe: Stimmen die Ergebnisse?

Um zu testen, ob man richtig gerechnet hat, kann man x und y jeweils in die Gleichungen eingeben und gucken, ob die Gleichung aufgeht:

I) 3*2 + 7 = 13
II) 7= 2*2 + 3

Da 3 mal 2 + 7 gleich 13 und 2 mal 2 + 3 gleich 7 ist, stimmen beide Gleichungen. Das heißt, wir haben richtig gerechnet und die Lösungen x=2 und y=7 stimmen!