Gleichungen

In diesen Beitrag geht es um Gleichungen. Gleichungen sind in der Mathematik besonders wichtig, um Probleme zu lösen. Dabei ist muss man die sogenannte Äquivalenzumformung beherrschen.

Überblick: Gleichungen
  • Eine Gleichung besteht aus zwei mathematischen Ausdrücken, die den gleichen Wert haben. Zwischen ihnen wird das Gleichheitszeichen gesetzt
  • Man löst eine Gleichung durch die Äquivalenzumformung auf. Auf Deutsch sagt man auch gleichwertige Umformung
  • Man kann beide Seiten einer Gleichung mit der selben Zahl addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren
  • Nachdem man eine Variable durch Umformung ermittelt hat, sollte man die Probe ausführen, da man sich beim Umformen leicht verrechnet

Was ist eine Gleichung?

Eine Gleichung sind zwei mathematische Ausdrücke, die durch ein Gleichheitszeichen miteinander in Verbindung gesetzt werden. Dabei drückt das Gleichheitszeichen aus, dass die beiden Ausdrücke den gleichen Wert haben. Hier ein paar Beispiele:

gleichungen beispiele

Die Gleichungen III), IV) und V) beinhalten Variablen. III) sagt im Prinzip nur aus, das x den Wert 3,25 hat. IV) kann man so umstellen, dass man a herausbekommt. Bei V) hingegen können wir die Werte für y und z nicht berechnen, weil wir zwei Variablen in einer Gleichung haben.

Wie löst man eine Gleichung nach x auf?

Erstmal ist wichtig, dass die Unbekannte nicht immer x sein muss. Allerdings hat sich das x als Buchstabe für eine Unbekannte etabliert. Eine Gleichung stellt man mit Hilfe der sogenannte Äquivalenzumformung um. ‚Äqui‘ bedeutet ‚Gleich‘ und ‚valenz‘ bedeutet ‚Wertigkeit‘, also heißt Äquivalenzumformung übersetzt eine gleichwertige Umformung.

Wie funktioniert die Äquivalenzumformung?

Nehmen wir an, wir haben eine Gleichung z.B. 4 + 5 = 7 + 2. Beide Ausdrücke ergeben 9, darum darf man ja auch das Gleichheitszeichen schreiben. Aber was passiert jetzt, wen wir auf beiden Seiten 3 hinzuaddieren?

aeuqivalenzumformung

Wenn man jetzt die Seiten ausrechnet, kommt bei beiden 12 heraus. Das verwundert nicht, denn 9 + 3 = 12. Wir können also bei der Äquivalenzumformung beide Seiten verändern, wir müssen nur immer beide Ausdrücke auf die gleiche Weise umformen.

Beispiel „nach x auflösen“:

Wichtig: Man sollte versuchen, jeden Schritt genau nachzuvollziehen!

gleichungen loesen

Diese Gleichung wurde in 4 Schritten gelöst:

  1. Man multipliziert mit 3, weil sich der Nenner im Bruch so wegkürzt. Es ist aber wichtig, auch das +x zu verdreifachen, das ist eine häufige Fehlerquelle.
  2. Man zählt 2x und 3x zu 5x zusammen
  3. Man zieht 1 von beiden Seiten ab, um links nur noch 5x zu haben
  4. Jetzt können wir beide Seiten durch 5 teilen und können ablesen: x = 7

Probe durchführen

Man kann jetzt eine Probe durchführen, ob man auch richtig gerechnet hat. Dazu setzt man sein Ergebnis für x einfach in die ursprüngliche Gleichung ein und prüft, ob die Gleichung stimmt:

gleichung probe

12 = 12 ist offensichtlich eine wahre Aussage, also haben wir richtig gerechnet!