Wurzel ziehen

In diesem Beitrag geht es um das Wurzelziehen. Das Wurzelziehen ist die Umkehrung des Potenzieren. Das Wurzelrechnen macht die Einführung einer neuen Art von Zahlen notwendig.

Überblick: Wurzelziehen
  • Die Quadratwurzel einer Zahl ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert die ursprüngliche Zahl ergibt
  • Damit ist das Wurzelziehen die Umkehrung des Potenzierens
  • Aus negativen Zahlen kann man keine gerade Wurzel, aber eine ungerade Wurzel ziehen
  • Positive Zahlen haben immer 2 gerade Wurzeln: a und -a

Die Quadratwurzel

Wenn man ein Zahl hat, z.B. die 25, welche Zahl muss man dann mit sich selbst multiplizieren, damit 25 dabei herauskommt? Genau das berechnet die Quadratwurzel:

wurzel beispiel

Wichtig: Das WurzelzeichenQuadratwurzel zeichen  und wurzel zeichen bedeuten das Gleiche. Weil die zweite Wurzel (Quadratwurzel) viel häufiger verwendet wird als die dritte, vierte oder andere Wurzeln, hat man sich geeinigt, die kleine 2 auch weglassen zu können. Genau so sagt man anstatt Quadratwurzel häufig einfach nur Wurzel!

5 ∙ 5 ist 25, also ist die Quadratwurzel aus 25 gleich 5. Aber Vorsicht: 5 ist nicht die einzige Wurzel aus 25, wenn man auch negative Zahlen zulässt!

negative wurzel

Minus mal Minus ist Plus, also ist auch -5 eine Wurzel aus 25. Deswegen schreibt man auch Plusminus 5. Das heißt, sowohl minus 5 also auch plus 5.

Höhere Wurzeln

Was ist aber jetzt die dritte oder vierte Wurzel usw.? Ganz einfach! Die dritte Wurzel z.B. ist die Zahl, die man dreimal mit sich selbst multiplizieren muss, damit sie die Zahl ergibt, aus der die Wurzel gezogen wird:

dritte wurzel beispiel

Jetzt ist aber -6 keine Wurzel von 216, den -6 ∙ -6 ∙ -6 = -216. Aber wie kommt der Unterschied zur Quadratwurzel zu Stande? Nun, das liegt daran, dass 3 ungerade ist.

Warum kann man aus einer negativen Zahl die 3., 5. oder 7. Wurzel ziehen, nicht aber die 2., 4. oder 6. Wurzel?

Wenn man eine gerade Anzahl an negativen Zahlen multipliziert, kommt eine positive Zahl heraus. Wenn man aber eine ungerade Anzahl an negativen Zahlen multipliziert, kommt eine negative Zahl bei raus:

gerade ungerade wurzel

Wie man sieht, kann man bei der ersten Gleichung „Minus mal Minus gleich Plus“-Pakete bilden. da es eine gerade Anzahl an Zahlen ist. Diese „Pakete“ sind dann positiv und bleiben das auch, wenn man alles ausrechnet. Bei einer ungeraden Anzahl bleibt eine negative Zahl übrig, die keinen Partner findet. Und genau diese Zahl macht dann alles negativ.

Und genau deswegen hat eine Gerade Wurzel (2., 4., 6, Wurzel usw.) aus einer positiven Zahl immer zwei Lösungen, aber aus einer negativen Zahl keine Lösung! Eine ungerade Wurzel (3., 5., 7. Wurzel usw.) hat immer nur eine Lösung, und zwar für positive und negative Zahlen! Wie wir oben gesehen haben, gilt z.B.:

negative dritte wurzel

Fachbegriffe für die Wurzelrechunung

Es gibt spezielle Begriffe, die für die Zahlen verwendet werden, die beim Wurzelziehen benutzt werden:

wurzel fachbegriffe

Wurzelexponent: Der Wurzelexponent bestimmt, welche Wurzel gezogen wird, also die 2.Wurzel, die 3.Wurzel usw.

Radikand: Der Radikand ist die Zahl, aus der die Wurzel gezogen wird. Das Wort Radikand kommt aus dem Lateinischen und bedeutet „Wurzel schlagen“ von dem Wort „Radix„, das „Wurzel“ bedeutet. Deswegen nennt man das Wurzelziehen auch Radizieren.

Wurzelwert: Der Wurzelwert ist das Ergebnis einer Wurzelrechnung.