Reelle Zahlen

In diesem Beitrag geht es um reelle Zahlen. Das Besondere an den reellen Zahlen ist, dass sie wirklich jede Zahl auf der Zahlengerade beinhalten. Es gibt keine Lücke mehr zwischen den Zahlen, die reelle Zahlengerade verläuft fließend bzw. durchgehend.

Überblick: Reelle Zahlen
  • Relle Zahlen umfassen alle Zahlen auf dem Zahlenstrahl
  • Relle Zahlen setzen sich aus den rationalen und irrationalen Zahlen zusammen
  • Irrationale Zahlen sind Zahlen die man nicht als Bruch darstellen kann
  • Es ist eine philosophische Frage, ob irrationale Zahlen überhaupt existieren, oder nur ihre Annäherung

Was sind reelle Zahlen?

Die reellen Zahlen sind die rationalen Zahlen (Zahlen, die man als Bruch schreiben kann) und die irrationalen Zahlen (Kommazahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen die sich nicht wiederholen). Damit sind reelle Zahlen quasi alle Zahlen, die man in der Schule lernt, mit Ausnahme von den sogenannten komplexen Zahlen. Aber woher kommen diese irrationalen Zahlen?

Was sind irrationale Zahlen?

Irrationale Zahlen, sind Zahlen, die man nicht als Bruch schreiben kann. Sie haben unendlich viele Kommastellen, die sich nicht ab einen bestimmten Punkt wiederholen.

Ein möglicher Ursprung von irrationalen Zahlen ist das Wurzelziehen:

irrationale zahlen als wurzel

Das liegt daran, dass die Wurzel einer Zahl keine Bruchzahl sein kann. Weitere irrationale Zahlen sind:

irrationale zahlen beispiele

Das heißt, Werte von Winkelfunktionen oder dem Logarithmus sind oft auch, aber nicht immer, irrationale Zahlen. Die beiden wichtigsten Konstanten in der Mathematik, die Kreiszahl Pi und die eulersche Zahl e sind ebenfalls irrationale Zahlen. Warum das so ist, erkennt man an ihrer so genannten Reihenentwicklung:

reihenentwicklung pi und e

Es werden unendlich viele Zahlen zusammenaddiert. Dabei wird der Wert der Zahl immer weiter angenähert. Dabei werden die dazuaddierten Zahlen aber immer kleiner und kleiner. Deshalb werden auch immer mehr Nachkommastellen gebraucht.

Man muss sich bei den irrationalen Zahlen auch fragen: Warum sollte es überhaupt eine Wurzel aus 2 geben? Wenn 10 hoch eine Zahl gleich 2 ist, warum sollte diese Zahl ( diese Zahl ist log 2) eine Bruchzahl sein? Und warum sollte man das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit 60° Winkel (dieses Verhältnis ist sin 60°) als Zahl mit endlich vielen Nachkommastellen schreiben können?

Es gibt keinen logischen Grund, aber es macht Sinn, dass wir diese Zahlen beliebig genau annähern können!

Gibt es irrationale Zahlen überhaupt in Wirklichkeit?

Eine interessante Frage, die sich nicht nur Mathematiker, sondern auch Philosophen stellen, ist, ob irrationale Zahlen überhaupt existieren oder nur ihre Annäherung. Denn wir können z.B. Pi beliebig genau annähern, aber kein Mensch kennt den exakten Wert von Pi. Wie denn auch, man müsste ja unendlich viele Kommastellen kennen!