Natürliche Zahlen

Dieser Beitrag behandelt das Thema natürliche Zahlen. Die natürlichen Zahlen sind fundamental für die Mathematik. Hier wird beschrieben, was sie sind und wie man sie definiert.

Überblick: Natürliche Zahlen
  • Natürliche Zahlen sind die Zahlen mit denen man zählt
  • Mathematiker können sich nicht einigen, ob die 0 eine natürliche Zahl ist oder nicht
  • Es gibt Symbole, die die natürlichen Zahlen kennzeichnen
  • Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen
  • Die natürlichen Zahlen werden mit 5 Regeln, die Peano-Axiome genannt werden, exakt beschrieben

Was sind natürliche Zahlen?

Natürlichen Zahlen sind die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5… und so weiter. Jetzt könnte man den Fehler machen und sagen: „Das ist ja ganz einfach, das sind doch die Zahlen, mit denen man zählt. Das kenne ich doch schon lange!“, allerdings gibt es einige interessante Fragen zu diese Zahlen zu klären:

Ist die Null eine natürliche Zahl?

Jein! Die einen Mathematiker sagen ja, die anderen sagen nein. Es ist letztendlich willkürlich, aber auf matheverstehen.de gehen wir davon aus, dass die Null keine natürliche Zahl ist, weil es so häufiger verwendet wird.

Besondere Symbole für natürliche Zahlen

Der Ausdruck „natürliche Zahlen“ ist ganz schön lang und lässt sich nicht gut in einer Formel verwenden, daher haben sich Mathematiker Symbole ausgedacht:

natürliche Zahlen ohne 0

oder wenn die Null doch dazugehören soll:

natuerliche Zahlen mit 0

Damit man klar stellen kann, dass die Null auch dabei ist oder doch nur die positiven natürlichen Zahlen gemeint sind, gibt es noch folgende Symbole (in der geschweiften Klammer stehen dann alle natürliche Zahlen):

natuerliche Zahlen inklusive 0

positive natürliche Zahlen

Wie definiert man die natürlichen Zahlen? (Peano-Axiome)

Wie am Anfang gesagt, ist es gefährlich, die natürliche Zahlen mit Punkt Punkt Punkt zu beschreiben. Was ist z.B wenn jemand bei 1, 2, 3 … denkt, die Folge geht so weiter: 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2 usw.? Wir müssen das Ganze also genauer beschreiben. Dafür gibt es 5 Regeln:

1. Die 1 ist eine natürliche Zahl

Wir fangen erstmal mit einer ersten Zahl an.

2. Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger, der auch eine natürliche Zahl ist

Jetzt hat die 1 einen Nachfolger, den wir natürlich 2 nennen. Aber auch die 2 hat dann einen Nachfolger. Und der Nachfolger der 2 hat wieder einen Nachfolger usw.

Das reicht uns aber nicht, denn in 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3 usw. hat auch jede Zahl einen Nachfolger!

3. Die 1 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl

Jetzt haben wir verhindert, dass sich alles im Kreis dreht! Oder? Was ist z.B. mit der Folge 1, 2, 3, 2, 3, 2 usw. oder 1, 2, 3, 4, 2, 3, 4, 2, 3 usw.? Die 1 ist dabei, jede Zahl hat einen Nachfolger und auf keine Zahl folgt 1! Also brauchen wir noch eine Regel:

4. Zwei verschiedene natürliche Zahlen besitzen nie den selben Nachfolger

Mit dieser Regel verhindern wir endgültig, dass wir beim Nachfolger einer Zahl „zurückspringen“. Suchen wir den Nachfolger einer Zahl, kann dieser nicht vor der Zahl gekommen sein, denn die 1 ist nach Regel 3 kein Nachfolger und alle anderen Zahlen sind schon Nachfolger einer Zahl. Regel 4 schließt also aus, dass noch ein weiterer Nachfolger hinzukommt.

Jede andere Zahl vor der Zahl, dessen Nachfolger wir suchen, hat bereits einen Nachfolger und kann deswegen nach Regel 4 keinen weiteren mehr haben. Der Nachfolger einer Zahl muss also immer eine neue Zahl sein!

Die 5. Regel vervollständigt das ganze jetzt noch:

5. Besitzt eine Menge von Zahlen die 1 sowie den Nachfolger jeder Zahl, die sie enthält und sonst keine weitere Zahl, dann ist das die Menge der natürlichen Zahlen

Nehmen wir an, wir haben eine Kiste. Wir legen die 1 in die Kiste. Danach ihren Nachfolger die 2. Dann die 3, weil sie Nachfolger von der 2 ist und immer so weiter. Sonst legen wir keine weiteren Zahlen oder andere Dinge in die Kiste. Dann ist die Kiste quasi die Menge der natürlichen Zahlen! Jede Zahl hat einen Nachfolger, der aber auch wieder einen Nachfolger haben muss. Und jeder Nachfolger muss eine neue Zahl sein, also gibt es unendlich viele natürliche Zahlen!

Diese 5 Regeln nennt man übrigens auch nach ihrem Erfinder, dem italienischen Mathematiker Giuseppe Peano, die Peano-Axiome. „Axiom“ bedeutet auf Deutsch in etwa „Grundsatz“.