Multiplikation

In diesem Beitrag geht es um das Multiplizieren oder Vervielfachen. Multiplizieren entsteht durch zusammenfassen der der Addition und kann auch als Rechteckrechnen augefasst werden.

Überblick: Multiplikation
  • Das Multiplizieren ist das wiederholte Addieren der selben Zahl
  • Kommutativgesetz oder Vertauschungsgesetz: a ∙ b = b ∙ a
  • Assotiativgesetz oder Verbindungsgesetz: (a ∙ b) + c = a ∙ (b ∙ c)
  • Faktor ∙ Faktor = Produkt

Was ist Multiplikation?

Die ursprüngliche Idee hinter der Multiplikation ist, das wiederholte Addieren einer Zahl zusammenzufassen.

Beispiel: Nehmen wir einmal an, Familie Müller hat drei Hunde. Wie viele Hundepfoten können den frisch gewischten Boden von Frau Müller wieder schmutzig machen?

Wir müssen also alle Pfoten der Hunde von Familie Müller zählen. Würde man das tun, käme man auf die richtige Antwort 12.

Es gibt aber einen einfacheren Weg: Da jeder Hund bekanntlich 4 Pfoten hat, müssen wir nur die Pfoten der 3 Hunde zusammenzählen, wie wir in dem Beitrag Addition gelernt haben:

wiederholte addition

Das Besondere an dieser Rechnung ist, dass die selbe Zahl mehrmals addiert wurde! Und genau Das nutzt die Multiplikation aus, um das Ganze noch mehr zusammenzufassen:

multiplikation beispiel

Es werden 4 Pfoten, nochmal 4 Pfoten und noch ein drittes Mal 4 Pfoten zusammengezählt, also insgesamt 3 ∙ 4 Pfoten.

Für die Multiplikation gilt das Vertaschungsgesetz oder Kommutativgesetz: a ∙ b = b ∙ a

Beim Multiplizieren finden man eine Sache schnell heraus: 3 ∙ 4 = 4 ∙ 3. Aber warum kann man die Zahlen bei der Multiplikation vertauschen?

Wenn wir 3 ∙ 4 Hundepfoten haben, das können wir das Ganze auch ein wenig anders betrachten: Jeder Hund hat eine rechte Vorderpfote und da wir 3 Hunde haben, haben wir 3 rechte Vorderpfoten. Wir haben dann aber auch 3 linke Vorderpfoten und das Gleiche gilt auch für die beiden Hinterpfoten. Wir haben 4 verschiedene Arten von Pfoten und davon jeweils drei. Also muss gelten: 4 ∙ 3 = 12.

Wir haben aber bereits herausgefunden dass 3 ∙ 4 = 12 ist. Also ist 3 ∙ 4 = 4 ∙ 3. Um das noch besser zu verstehen, kann man sich die Multiplikation als Rechteckrechnung vorstellen:

multiplikation rechteck

Breite ∙ Höhe = Höhe ∙ Breite

Die Rechtecke haben beide 15 Kästchen und beide Seitenlängen von 3 und 5, daran kann man erkennen:

kommutativgesetz multiplikation

Für die Multiplikation gilt das Assoziativgesetz oder Verbindungsgesetz: (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c)

Wenn wir 3 Zahlen miteinander multiplizieren, dann ist egal, welche beiden Zahlen man zuerst multipliziert, wie man an einem Beispiel leicht sehen kann:

assotiativgesetz multiplikation

Das liegt daran, dass man die Multiplikation von drei Zahlen auch als Quader darstellen kann, wie man an folgendem Bild sieht:

multiplikation quader1

Man kann erst das vordere Rechteck des Quaders ausrechnen und erhält 4 ∙ 5 = 20. Da der Quader 3 Längen tief ist, gilt: 3 ∙ 20 = 60. Also besteht der Qauder aus 60 kleinen Würfeln. Wenn man den Quader umlegt, hat er natürlich immer noch 60 Würfel:

multiplikation quader2

Das vordere Rechteck ist 3 ∙ 4 = 12 groß. Der Quader ist 5 Längen tief, also 5 ∙ 12 = 60. Wie man sieht gilt das Assoziativgesetz, weil die Würfelzahl immer gleich ist, egal wie man anfängt zu rechnen!

Fachbegriffe für die Multiplikation

Es gibt spezielle Begriffe, die für die Zahlen verwendet werden, die in der Multiplikation benutzt werden:

Faktor mal Faktor gleich Produkt

Faktor: Das Wort Faktor bedeutet auf Latein „Macher“ oder „Schaffender“. Die Faktoren sind die Zahlen, die multipliziert werden.

Produkt: Produkt bedeutet „Produziertes“ oder „Erzeugtes“ auf Latein. Bei der Multiplikation erzeugen immer mindestens 2 Faktoren ein Produkt.