Ganze Zahlen

Dieser Beitrag behandelt die ganzen Zahlen. Die ganzen Zahlen sind positive und negative Zahlen. Aber was ist überhaupt eine negative Zahl und wofür braucht man diese überhaupt?

Überblick: Ganze Zahlen
  • Ganze Zahlen sind die natürlichen Zahlen, die negativen ganzen Zahlen und die Null
  • Negative Zahlen sind das Gegenteil von positiven Zahlen
  • Negative Zahlen müssen nicht „negativ“ im Sinne von schlecht sein
  • Die ganzen Zahlen gehen von minus unendlich bis plus unendlich
  • Abgeschlossenheit: Die Subtraktion zweier ganzen Zahlen ist wieder eine ganze Zahl

Was sind die ganzen Zahlen?

Die ganzen Zahlen sind die natürlichen Zahlen (auch positive ganze Zahlen genannt), die Null und die negativen ganzen Zahlen. Hierbei sind die negativen Zahlen das Gegenteil der positiven Zahlen.

Was sind die negativen Zahlen?

Um sich etwas unter negativen Zahlen vorstellen zu können, sind hier ein Paar typische Anwendungen von negativen Zahlen:

Bankkonto:
Wenn man +500€ auf dem Bankkonto hat, dann kann man diese vom Konto abheben. Wenn man hingegen -500€ auf dem Konto hat, schuldet man der Bank 500€.

Höhe und Meeresspiegel:
Auf Landkarten gibt man die Höhe eines Berges meistens als Höhe über dem Meeresspiegel an. Der höchste Berg der Erde, der Mount Everest, liegt z.B. 8848 Meter über dem Meeresspiegel.

Aber es gibt auch Orte die unter dem Meeresspiegel liegen. In den Niederlanden liegen viele Orte unter dem Meeresspiegel und würden überflutet werden, wenn die Dämme in einer Sturmflut brechen sollten. Die Höhe dieser Orte muss auf Landkarten entsprechend eine negativen Zahl sein!

Verständnisfrage: Wie viel Meter liegt der Gipfel des Mount Everest unter dem Meeresspiegel?

Da der Mount Everest 8848 Meter über dem Meeresspiegel liegt und unter das Gegenteil von über ist, liegt der Gipfel minus 8848 Meter unter dem Meeresspiegel! Ganz schön verwirrend!

Beschleunigung und Bremsen:
Wenn man mit dem Auto losfährt und eine Geschwindigkeit von 50 km/h erreicht, dann hat man das Auto beschleunigt, also die Geschwindigkeit erhöht.

Läuft jetzt ein Kind auf die Straße und man tritt schnell auf die Bremse, dann senkt man die Geschwindigkeit ab, man hat also eine negative Beschleunigung, also eine Abbremsung.

Daran erkennt man auch, dass negativ in der Mathematik nicht notwendigerweise negativ im Sinne von „schlecht“ sein muss. so wie beim Bankkonto 😉 .

Die ganzen Zahlen gehen in beide Richtungen ins Unendliche

Die natürlichen Zahlen geht von 1 bis unendlich. Die ganzen Zahlen enthalten die natürlichen Zahlen quasi zweimal: einmal ist selbstverständlich jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl und die negativen Zahlen sind praktisch genauso wie die natürlichen Zahlen, nur dass sie noch ein Minuszeichen davor haben. Also gehen die ganzen Zahlen von minus unendlich bis plus unendlich! Das ist für die Subtraktion besonders wichtig, wie wir jetzt sehen werden.

Die Subtraktion in den ganzen Zahlen ist abgeschlossen

Das bedeutet, dass man jede ganze Zahl von jeder anderen ganzen Zahl abziehen kann und erhält als Ergebnis immer wieder eine ganze Zahl. So etwas ist beim Computer oft sehr wichtig, weil ansonsten Programme abstürzen können, wenn der PC etwas berechnet und plötzlich ein Ergebnis erhält, dass er nicht versteht!

Wichtig: Die Subtraktion in den natürlichen Zahlen ist z.B. nicht abgeschlossen, weil 3 – 5 = -2 ist, und -2 ist keine natürliche Zahl!