Was ist Mathematik?

Dieser Beitrag beschäftigt sich mit der Frage, was Mathematik eigentlich ist. Diese Frage wurde schon oft gestellt und selten bekommt man eine befriedigende Antwort. Selbst Mathematiker sind sich uneinig.

Zusammenfassung
  • Mathematik ist viel mehr als nur Zahlen und Rechnen, in der Schule macht man nur wenig Mathematik, man rechnet meistens nur
  • Man kann Mathe sowohl als Sprache, als auch als Wissenschaft angesehen
  • Mathematik passt weder richtig in die Naturwissenschaften noch in die Geisteswissenschaften, darum wird sie oft auch als Formal- oder Strukturwissenschaft bezeichnet
  • Das Wichtigste an der Mathematik ist das exakte Beschreiben und eindeutige Schlussfolgern
  • Mathematik ist unabhängig von der Realität

Was verstehen wir überhaupt unter Mathematik?

Bei dem Wort Mathematik denken die meisten Leute wahrscheinlich erstmal an die Schule. Hier kommt man am meisten mit der reinen Mathematik in Kontakt, die losgelöst von einer Anwendung im wahren Leben ist. Entsprechend denken viele Menschen, dass Zahlen und Rechenarten und vielleicht noch geometrische Figuren Mathematik sind. Aber was hat eine Zahl mit einem Kreis oder einer Strecke zu tun. Warum sind so unterschiedliche Dinge wie Addition und Geometrie Teil der gleichen Wissenschaft?

Ist Mathematik eine Sprache oder eine Wissenschaft?

Oftmals hört man, Mathematik sei eine Sprache. Eine Sprache ist ein Kommunikationsmittel mit Wörtern und Zeichen, um Umstände zu beschreiben. Mathematik tut genau das. Es gibt Begriffe wie Addition, Radius oder Funktion und Zeichen wie das Pluszeichen, Gleichheitszeichen oder das Zeichen für einen rechten Winkel, die dabei helfen, mathematische Sachverhalte zu beschreiben.

Wenn es mehrere natürliche Sprachen wie Deutsch, Englisch oder Japanisch gibt, kann es dann auch mehrere mathematische Sprachen geben?

Die Antwort lautet ja, denn es gibt ja z.B. arabische Zahlen, römische Zahlen oder chinesische Schriftzeichen für Zahlen. In den USA benutzt man ein anderes Malzeichen und Geteiltzeichen, nämlich die, die man auf Taschenrechnern meistens findet. Außerirdische könnten auf einem fernen Planeten die gleichen mathematischen Erkenntnisse gefunden haben wie wir, aber diese mit völlig anderen Wörtern und Symbolen beschreiben!

Aber was ist jetzt Mathematik? Die beschriebenen Sachverhalte oder die Sprache selbst?

Es gibt keine klare Antwort darauf, man kann sicherlich sagen, dass beides Teil von dem ist, was wir als Mathematik verstehen. Somit ist Mathematik sowohl eine Sprache als auch eine Wissenschaft. Wichtiger ist aber wohl der wissenschaftliche Aspekt, denn ohne ihn würde die mathematische Sprache auch nicht existieren.

Ist Mathematik eine Naturwissenschaft oder eine Geisteswissenschaft?

Mathe eine Naturwissenschaft?

Viele ordnen Mathematik intuitiv den Naturwissenschaften, wie Physik, Chemie oder Biologie zu, weil sie in diesen häufig verwendet wird. Es gibt aber einen erheblichen Unterschied zwischen Mathematik und Naturwissenschaften.

In den Naturwissenschaften werden Erkenntnisse auf Basis von Beobachtungen gewonnen. Man beobachtet, wie alle Gegenständen, die man loslässt, zu Boden fallen. Daraus schließt man, dass die Erde Gegenstände anzieht. Durch weiteres beobachten, messen, Daten sammeln usw. findet man heraus, das alle Planeten mehr oder weniger stark Gegenstände anziehen. Mathematik funktioniert anderes. Hier definiert man Dinge und schlussfolgert mit Hilfe von Logik daraus neue Erkenntnisse.

Mathe eine Geisteswissenschaft?

Manche Leute meinen, die Mathematik sei eine Geisteswissenschaft, wie Kunst-, Geschichts- und Literaturwissenschaft. Sie ist also ein Produkt des menschlichen Geistes. Das Problem bei dieser Zuordnung ist, dass mathematische Sachverhalte auch ohne den menschlichen Geist existieren. Die uns bekannte Mathematik hat der menschliche Geist vielleicht entwickelt, aber das gilt logischerweise für alle Wissenschaften und macht sie so noch zu keiner Geisteswissenschaft.

Da man Mathematik weder zu den Naturwissenschaften noch zu den Geisteswissenschaft wirklich passt, bezeichnen viele die Mathematik als Strukturwissenschaft oder Formalwissenschaft.

Exaktes Beschreiben und eindeutiges Schlussfolgern

Mathematik basiert auf dem Prinzip „Definition, Satz, Beweis„. Erst werden Begriffe definiert, dann wird eine Behauptung mit Hilfe der Definitionen aufgestellt und dann der Satz bewiesen.

Definition

Mathematik fängt immer erst damit an, etwas genau zu definieren. Das heißt, dass keine Ungewissheit darüber besteht, was gemeint ist. Hier ein Beispiel:

Definition von einem Kreis:

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte in einer Ebene, die den gleichen Abstand zu einem Punkt, den sogenannten Mittelpunkt haben.

Diese Definition beschreibt eindeutig, was ein Kreis ist. Man hat einen Punkt in einer Ebene und alle Punkte, die einen bestimmten Abstand (Radius) entfernt sind, gehören zur Kreislinie. Wichtig ist nur, dass Mathematiker schon vorher definiert haben, was ein Punkt, eine Ebene und ein Abstand sind. Vergleichen wir das mal mit der Beschreibung eines Alltagsgegenstand:

Beschreibung einer Tasse:

Eine Tasse ist ein Trinkgefäß mit Henkel, das vorrangig für Heißgetränke verwendet wird. (Quelle: Wikipedia)

Hier sieht den Unterschied zu einer mathematischen Definition: Es ist viel ungenauer beschrieben. Weiß man wirklich mit Hilfe dieser Beschreibung, wie eine Tasse aussieht, wenn man noch nie eine gesehen hat? Und was genau ist mit „vorrangig“ gemeint? Hat jede Tasse einen Henkel und ist jedes Trinkgefäß mit Henkel eine Tasse? Mathematiker wollen exakte Definitionen, damit sich solche Fragen nicht stellen.

Schlussfolgerung

Auf Basis der Definitionen werden mathematische Erkenntnisse geschlussfolgert. Dazu gehört ein Satz und sein Beweis. Beispiel:

Satz: Ist eine Zahl gerade, dann ist auch ihr Quadrat gerade.

Beweis: Ist die natürliche Zahl n gerade, so kann man die Gleichung n = 2*p schreiben mit p als natürliche Zahl. Quadriert man die Gleichung: n² = 2²*p² = 4*p², dann sieht man, dass n² durch 4 teilbar ist. Dann ist n² aber immer auch durch 2 teilbar, was zu beweisen war.

Wichtig ist hier, das vorher definiert worden ist, was eine natürliche Zahl und eine gerade Zahl ist. Die Schlussfolgerung muss in jedem Schritt eindeutig sein! Vergleichen wir das mit einer Schlussfolgerung aus dem Alltag:

Schlussfolgerung: „Wenn der berühmte Comedian einen Witz macht, muss das ganze Publikum lachen.“

Die Schlußfolgerung ist
: Aus „der berühmte Comedian macht einen Witz“ folgt „das ganze Publikum muss lachen“. Aber muss wirklich das ganze Publikum lachen oder sitzt hinten in der Ecke jemand der nicht lacht? Und lacht das Publikum wirklich immer oder macht selbst der berühmte Comedian mal einen Witz, bei dem niemand lacht?

Wie man sieht, muss man in der Mathematik exakt sein, während man in der Alltagssprache zu Übertreibungen und Ungenauigkeiten neigt.

Mathematik ist etwas besonderes, auch im Paralleluniversum!

Wie man sieht, ist Mathematik einen besondere Wissenschaft, die nicht mit anderen Wissenschaften zu vergleichen ist. So unterschiedliche Dinge, wie die Addition von Zahlen oder geometrische Figuren sind deshalb Teil derselben Wissenschaft, weil sie sich exakt definieren lassen.

Mathematik ist losgelöst von der Wirklichkeit. Gibt es, wie manche Physiker sagen, Paralleluniversen, die nach völlig anderen Regeln aufgebaut sind als unser Universum, wären alle unsere Physikbücher dort nutzlos. Aber alle unsere Erkenntnisse über Mathematik bleiben bestehen. Das ist das Besondere an der Mathematik!