Warum kann man nicht durch null teilen?

Dieser Beitrag beschäftigt sich mit der Frage, warum man nicht durch null teilen kann. Tatsächlich glaubten manche Mathematiker, eine Lösung gefunden zu haben. Man hat sich aber letztendlich darauf geeinigt, das die Division durch null nicht zulässig ist.

Zusammenfassung
  • Durch null teilen macht keinen Sinn. Man kann etwas nicht in null Stücke teilen
  • Wenn man durch immer kleiner werdende Zahlen teilt, geht das Ergebnis nach plus oder minus unendlich
  • Wenn a irgendeine positive Zahl ist und a durch null ist plus unendlich, dann muss 0 ∙ ∞ jede beliebige positive Zahl ergeben
  • Durch null teilen führt nur zu Widersprüchen und wird deswegen nicht definiert

Was ist überhaupt Teilen durch null?

Wenn man eine Zahl durch 3 teilt, heißt das, dass man sie in drei gleich große Teile aufteilt. Das kann man sich leicht vorstellen, z.B. wenn man einen Kuchen in drei gleich große Stücke teilt. Aber wie kann man sich das Teilen durch null vorstellen? Wie soll man einen Kuchen in null Stücke teilen?

Ist eine Zahl geteilt durch null gleich unendlich?

Manche denken, das Ergebnis einer Division durch null ist gleich unendlich. Das scheint auch gar nicht so unlogisch, wenn man sich anschaut, was passiert, wenn man durch immer kleiner werdende Zahlen teilt:

durch kleine zahlen teilen

Wie man sieht, wird das Ergebnis immer größer, je kleiner die Zahl ist,durch die man teilt. Und je kleiner die Zahl ist, desto näher ist sie an der Null. Mathematiker sagen, der Grenzwert geht gegen unendlich und scheiben das wie folgt:

grenzwert plus unendlich

Einige Mathematiker dachten früher, das sei die Lösung, aber das Problem hierbei ist Folgendes: Was passiert, wenn man durch immer kleiner werdende negative Zahlen teilt?

durch kleine negative zahlen teilen

Man schreibt das auch:

grenzwert minus unendlich

Die Zahlen gehen in Richtung minus unendlich! Ist 1 geteilt durch 0 jetzt plus unendlich oder minus unendlich? Es gibt keine eindeutige Antwort. Außerdem sind plus und minus unendlich gar keine Zahlen, sondern nur Denkvorstellungen. Das Ganze wird sogar noch schlimmer, wenn man die Gleichung umstellt:

Was ist null mal unendlich?

Wir versuchen 1 durch null zu teilen, wissen aber nicht wie. Deshalb nennen wir das Ergebnis einfach x und stellen die Gleichung um:

1 durch null teilen

Wir müssen also ein x finden, für das x ∙ 0 = 1 ist. Aber jeder Zahl, die man mit null multipliziert, ergibt wieder 0 und nicht 1. Was ist aber, wenn wir für x unendlich einsetzten, da unendlich ja keine Zahl ist? Dann ist unendlich mal 0 = 1, aber wir haben folgendes Problem:

2 durch null teilen

Ist unendlich mal 0 auch gleich 2? Das Gleiche können wir jetzt mit jeder Zahl machen. Damit müsste unendlich mal 0 gleich jede beliebige Zahl sein. Das macht wieder keinen Sinn.

Durch null zu teilen, macht keinen Sinn

Wie wir gesehen haben, macht das Teilen durch null keinen Sinn, sondern führt nur zu Widersprüchen, weil…

  • wir nicht wissen, was durch null teilen überhaupt ist
  • das Ergebnis nicht unendlich sein kann, denn unendlich ist keine Zahl
  • sowohl plus als auch minus unendlich ein Ergebnis sein müssten
  • unendlich mal 0 gleich jede Zahl sein müsste

Aus diesem Grund haben Mathematiker sich entschieden, die Division durch null nicht zu definieren. Oder anders ausgedrückt:

Man kann nicht durch null teilen!