Warum ist die 1 keine Primzahl?

Dieser Beitrag beschäftigt sie mit der Frage, warum die 1 keine Primzahl ist. Die Frage ist eng verknüpft mit der Definition und der Natur der Primzahlen. Wir werden sehen, dass es Sinn macht, die 1 nicht als Primzahl zu zählen.

Zusammenfassung
  • Jede Zahl hat mindestens 2 Teiler: 1 und sich selbst. Ausnahme: Die 1 hat nur sich selbst als Teiler
  • Jede Primzahl hat genau 2 Teiler. Diese Regel würde mit 1 als Primzahl nicht mehr gelten
  • a ∙ 1 = a → Die Primfaktorzerlegung wäre nicht mehr eindeutig, da man beliebig viele Einsen hinzufügen könnte
  • Die natürlichen Zahlen sind durch Multiplikation von Primzahlen strukturiert. Die 1 hat keinen Nutzen, da sie das neutrale Element der Multiplikation ist

Die 1 ist eine Ausnahme

Eine positive ganze Zahl, die nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar ist, nennt man Primzahl. Die 7 ist z.B. nur durch 1 und 7 teilbar. Das Gleiche gilt aber auch für die 1: Die 1 ist nur durch 1 und sich selbst teilbar. Aber hier erkennt man schon das Problem, denn die 1 selbst ist ja auch wieder 1. Also ist 1 quasi durch 1 und 1 teilbar. Um das noch weiter zu verstehen, müssen wir den Sinn der Primzahlen weiter auf den Grund gehen.

Welchen Nutzen haben Primzahlen überhaupt?

Wenn man sich den Sinn von Primzahlen vor Augen hält und sich dann vorstellt, die 1 wäre eine Primzahl, dann kann man auch gut verstehen, warum Mathematiker bei der 1 eine Ausnahme gemacht haben. Der Sinn der Primzahlen liegt nämlich darin, dass man jede natürliche Zahl als Produkt von Primzahlen schreiben kann. Man nennt das die Primfaktorzerlegung. Beispiel:

Primfaktorzerlegung von 220

Diese Zerlegung ist eindeutig, d.h. man kann keine anderen Primzahlen verwenden. Man kann die Tatsache, dass natürliche Zahlen aus Primzahlen zusammengesetzt sind, in vielen Bereichen der Mathematik verwenden!

Was wäre, wenn die 1 eine Primzahl wäre?

Wäre die 1 eine Primzahl, könnte man sie jetzt beliebig zu der Primfaktorzerlegung hinzufügen:

1 als primzahl

Das liegt daran, dass eine Zahl mit 1 multipliziert wieder diese Zahl ergibt: a ∙ 1 = a. Man sagt auch, die 1 ist das neutrale Element der Multiplikation.

Wir wollten aber mit den Primzahlen erreichen, dass jede positive ganze Zahl durch Multiplizieren von Primzahlen erzeugt werden kann. Das geht zwar auch mit der 1 als Primzahl, aber die 1 leistet keinen Beitrag, da sich durch das Multiplizieren mit 1 ja nichts ändert.

Im Gegenteil macht die 1 als Primzahl nur zusätzliche Probleme, weil die Primfaktorzerlegung nicht mehr eindeutig ist. Man kann ja immer die 1 unendlich oft zur Primfaktorzerlegung hinzufügen, wie wir bei der Zahl 220 gesehen haben.

Jetzt macht die Definition von Primzahlen endlich Sinn!

Jede Zahl ist durch 1 und durch sich selbst teilbar. Das liegt daran, dass a ∙ 1 = a ist. Man muss diese Formel einfach nur umstellen, indem man durch a oder 1 teilt.

Gibt es einen weiteren Teiler, so lässt sich die Zahl in kleinere Zahlen aufspalten. Das geht so lange, bis Zahlen auftauchen, die keinen weiteren Teiler außer 1 und sich selbst haben, diese nennt man Primzahlen. Beispiel:

primfaktorzerlegung primfaktoren

Die 1 würde hierbei keinen Nutzen haben, sondern, wie wir gesehen haben, nur lästig sein. Also haben Mathematiker sie aus der Definition von Primzahlen herausgenommen!